IT-стартап разрабатывает 3D-модель корпуса для 3D-печати. Модель задана полигональной сеткой: поверхность куба (полая, без внутренних точек), каждая грань которого разбита на 3×3 одинаковых четырёхугольных полигона. Все соседние полигоны используют общие рёбра и общие вершины. Сколько рёбер содержит эта сетка?
Показать ответ и разборСкрыть ответ и разбор
Верный ответ
- A108
Разбор
Граней сетки: 6 · 9 = 54 четырёхугольника. У каждого 4 стороны, а каждое ребро принадлежит ровно двум соседним полигонам, поэтому рёбер 54 · 4 / 2 = 108. Проверка по формуле Эйлера: вершин 8 (углы) + 12 · 2 (на рёбрах куба) + 6 · 4 (внутри граней) = 56, и 56 − 108 + 54 = 2, что верно для замкнутой поверхности. Вариант «216» получается, если не учесть, что каждое ребро общее для двух полигонов. Вариант «96» — это 6 · 16, то есть число вершин без учёта общих. Вариант «112» — удвоенное число вершин, 2 · 56, а такой формулы для рёбер нет.