Пробный ЕНТ: Математика, вариант 2

Найдите значение выражения: $\frac{\sqrt{14+6\sqrt{5}}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}}{\sqrt{9+4\sqrt{5}}}$

• A$1+2\sqrt{5}$
• B$8-3\sqrt{5}$
• C$5\sqrt{5}-10$
• D$8+3\sqrt{5}$

Упростите выражение при $a>0$, $b>0$, $a\ne b$: $$\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\cdot\frac{a-b}{\sqrt{ab}}$$

• A2
• B$\frac{2(a+b)}{\sqrt{ab}}$
• C$4\sqrt{ab}$
• D4

Вычислите: $\frac{2^{7}\cdot 2^{-3}}{(2^{2})^{3}}$

• A$\frac{1}{16}$
• B4
• C$\frac{1}{4}$
• D$\frac{1}{2}$

Известно, что $9^{x}+9^{-x}=11$. Найдите значение выражения $27^{x}+27^{-x}$.

• A$8\sqrt{13}$
• B$13\sqrt{13}$
• C$10\sqrt{13}$
• D1298

Известно, что $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$. Найдите значение выражения $\cos 2\alpha+\operatorname{tg}\alpha$.

• A-0,47
• B1,03
• C-0,11
• D-1,03

Найдите значение выражения: $\sin 210^\circ+\cos 120^\circ$.

• A0
• B–1
• C1
• D–0,5

Упростите выражение: $(2x-3)^2-(2x+3)^2$

• A$-12x$
• B$-24x$
• C$24x$
• D0

Решите уравнение: $\frac{x^2-5x+6}{x-2}=0$

• A3
• B2 и 3
• Cнет решений
• D2

Найдите произведение корней уравнения $2x^2-5x-12=0$.

• A–12
• B6
• C–6
• D2,5

Решите уравнение: $2\sin x=\sqrt{3}$ (здесь $n\in\mathbb{Z}$).

• A$(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$
• B$(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n$
• C$\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$
• D$(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n$

Найдите произведение всех корней уравнения $x^{\log_3 x}=81x^3$.

• A$\frac{244}{3}$
• B27
• C81
• D3

Сколько целых значений параметра $a$ таких, что система уравнений $\begin{cases}(x-1)^2+(y+2)^2=9,\\y=2x+a\end{cases}$ имеет ровно два решения?

• A15
• B13
• C14
• D11

Найдите наименьшее значение разности $x-y$ среди всех решений системы уравнений $\begin{cases}\log_x y+\log_y x=\frac{5}{2},\\\log_2 x+\log_2 y=6.\end{cases}$

• A20
• B12
• C–12
• D0

Дана система уравнений $\begin{cases}\log_2 x-\log_2 y=1,\\x^2-y^2=27.\end{cases}$ Найдите значение $x+y$.

• A9
• B27
• C–9
• D13,5

Решите неравенство: $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}<\frac{1}{4}$

• A$(3;+\infty)$
• B$(-\infty;3)$
• C$(2;+\infty)$
• D$(-\infty;2)$

Найдите сумму всех целых решений системы неравенств $\begin{cases}\log_2(x+3)\le 3,\\\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-2x}\ge\frac{1}{8}.\end{cases}$

• A6
• B5
• C3
• D9

Три числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию, их сумма равна 15. Если к ним прибавить соответственно 2, 3 и 8, то получится геометрическая прогрессия. Найдите наибольшее из исходных чисел.

• A5
• B8
• C16
• D14

Предприятие производит x тыс. изделий (0 \le x \le 12). Выручка от продажи равна $R(x)=30x$ млн тенге, а затраты равны $C(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+21x+50$ млн тенге. Найдите наибольшую прибыль предприятия.

• A270 млн тенге
• B9 млн тенге
• C162 млн тенге
• D112 млн тенге

Радиус окружности равен 6 см, а расстояние от её центра до прямой равно 4 см. Каково взаимное расположение прямой и окружности?

• Aпрямая проходит через центр окружности
• Bпрямая касается окружности
• Cпрямая пересекает окружность
• Dобщих точек нет

Даны векторы $\vec{a}(2;-3)$ и $\vec{b}(4;1)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

• A8
• B5
• C–5
• D11

Выпуклый многогранник имеет только треугольные и четырёхугольные грани. Всего у него 10 граней и 16 рёбер. Сколько у этого многогранника треугольных граней?

• A6
• B8
• C2
• D10

Сколько рёбер имеет прямая шестиугольная призма?

• A12
• B16
• C18
• D24

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 12 см. Найдите длину его диагонали.

• A169 см
• B5 см
• C19 см
• D13 см

Даны точки $A(1;-2;3)$ и $B(4;0;-1)$. Найдите координаты вектора $\overrightarrow{AB}$.

• A(3; –2; –4)
• B(–3; –2; 4)
• C(5; –2; 2)
• D(3; 2; –4)

В пространстве заданы точки $A(2;-1;3)$, $B(4;1;2)$, $C(7;3;5)$. Четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом. Точку $D$ сначала отражают симметрично относительно плоскости $yOz$, а полученную точку отражают симметрично относительно точки $B$ (центральная симметрия). Найдите длину вектора, начало которого в точке $A$, а конец в итоговой точке.

• A$5\sqrt{6}$
• B$3\sqrt{10}$
• C$3\sqrt{6}$
• D$\sqrt{62}$

Математический турнир. На школьном турнире команда получила пять карточек с системами уравнений. Карточка 1 (показательная): $\begin{cases} 2^{x+y}=32 \\ 3^{x-y}=27 \end{cases}$. Карточка 2 (логарифмическая): $\begin{cases} \log_2 x+\log_2 y=5 \\ x-y=4 \end{cases}$. Карточка 3 (иррациональная): $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 \\ x-y=5 \end{cases}$. Карточка 4 (тригонометрическая): $\begin{cases} x+y=\frac{2\pi}{3} \\ \cos x\cos y=\frac{1}{4} \end{cases}$, где $x>0$, $y>0$. Карточка 5 (показательная с суммой): $\begin{cases} 2^x+2^y=12 \\ x+y=5 \end{cases}$. Жюри проверяет решения команды, сверяя их с ответами к карточкам.

Пусть $(x; y)$ — решение системы с карточки 1: $\begin{cases} 2^{x+y}=32 \\ 3^{x-y}=27 \end{cases}$. Найдите значение выражения $x^2+y^2$.

• A17
• B15
• C25
• D13

Математический турнир. На школьном турнире команда получила пять карточек с системами уравнений. Карточка 1 (показательная): $\begin{cases} 2^{x+y}=32 \\ 3^{x-y}=27 \end{cases}$. Карточка 2 (логарифмическая): $\begin{cases} \log_2 x+\log_2 y=5 \\ x-y=4 \end{cases}$. Карточка 3 (иррациональная): $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 \\ x-y=5 \end{cases}$. Карточка 4 (тригонометрическая): $\begin{cases} x+y=\frac{2\pi}{3} \\ \cos x\cos y=\frac{1}{4} \end{cases}$, где $x>0$, $y>0$. Карточка 5 (показательная с суммой): $\begin{cases} 2^x+2^y=12 \\ x+y=5 \end{cases}$. Жюри проверяет решения команды, сверяя их с ответами к карточкам.

Какая пара чисел $(x; y)$ является решением системы $\begin{cases} \log_2 x+\log_2 y=5 \\ x-y=4 \end{cases}$?

• A(-4; -8)
• B(6; 2)
• C(4; 8)
• D(8; 4)

Математический турнир. На школьном турнире команда получила пять карточек с системами уравнений. Карточка 1 (показательная): $\begin{cases} 2^{x+y}=32 \\ 3^{x-y}=27 \end{cases}$. Карточка 2 (логарифмическая): $\begin{cases} \log_2 x+\log_2 y=5 \\ x-y=4 \end{cases}$. Карточка 3 (иррациональная): $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 \\ x-y=5 \end{cases}$. Карточка 4 (тригонометрическая): $\begin{cases} x+y=\frac{2\pi}{3} \\ \cos x\cos y=\frac{1}{4} \end{cases}$, где $x>0$, $y>0$. Карточка 5 (показательная с суммой): $\begin{cases} 2^x+2^y=12 \\ x+y=5 \end{cases}$. Жюри проверяет решения команды, сверяя их с ответами к карточкам.

Найдите значение $x+y$ для решения системы $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 \\ x-y=5 \end{cases}$.

• A13
• B5
• C25
• D11

Математический турнир. На школьном турнире команда получила пять карточек с системами уравнений. Карточка 1 (показательная): $\begin{cases} 2^{x+y}=32 \\ 3^{x-y}=27 \end{cases}$. Карточка 2 (логарифмическая): $\begin{cases} \log_2 x+\log_2 y=5 \\ x-y=4 \end{cases}$. Карточка 3 (иррациональная): $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 \\ x-y=5 \end{cases}$. Карточка 4 (тригонометрическая): $\begin{cases} x+y=\frac{2\pi}{3} \\ \cos x\cos y=\frac{1}{4} \end{cases}$, где $x>0$, $y>0$. Карточка 5 (показательная с суммой): $\begin{cases} 2^x+2^y=12 \\ x+y=5 \end{cases}$. Жюри проверяет решения команды, сверяя их с ответами к карточкам.

Решите систему $\begin{cases} x+y=\frac{2\pi}{3} \\ \cos x\cos y=\frac{1}{4} \end{cases}$ при $x>0$, $y>0$. Чему равно $x$?

• A$\frac{2\pi}{3}$
• B$\frac{\pi}{6}$
• C$\frac{\pi}{3}$
• D$\frac{\pi}{4}$

Математический турнир. На школьном турнире команда получила пять карточек с системами уравнений. Карточка 1 (показательная): $\begin{cases} 2^{x+y}=32 \\ 3^{x-y}=27 \end{cases}$. Карточка 2 (логарифмическая): $\begin{cases} \log_2 x+\log_2 y=5 \\ x-y=4 \end{cases}$. Карточка 3 (иррациональная): $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 \\ x-y=5 \end{cases}$. Карточка 4 (тригонометрическая): $\begin{cases} x+y=\frac{2\pi}{3} \\ \cos x\cos y=\frac{1}{4} \end{cases}$, где $x>0$, $y>0$. Карточка 5 (показательная с суммой): $\begin{cases} 2^x+2^y=12 \\ x+y=5 \end{cases}$. Жюри проверяет решения команды, сверяя их с ответами к карточкам.

Система $\begin{cases} 2^x+2^y=12 \\ x+y=5 \end{cases}$ имеет несколько решений. Найдите наибольшее значение $x$ среди всех её решений.

• A8
• B3
• C4
• D5

Выберите все числа и выражения, равные значению выражения $\cos 120^\circ+\operatorname{tg}45^\circ$.

• A$\frac{3}{2}$
• B$\sin 30^\circ$
• C0,5
• D$-\frac{1}{2}$
• E$\frac{1}{2}$
• F-1,5

Выберите все выражения, тождественно равные выражению $(2x-3)^2$.

• A$4x^2+12x+9$
• B$4\left(x-\frac{3}{2}\right)^2$
• C$4x^2-12x+9$
• D$4x^2-9$
• E$(3-2x)^2$
• F$4x^2-6x+9$

Дано уравнение $x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8=0$. Выберите все верные утверждения об этом уравнении.

• AСумма всех различных действительных корней равна 4.
• BСумма квадратов всех различных действительных корней равна 7.
• CПроизведение всех различных действительных корней равно 1.
• DУравнение имеет ровно три различных действительных корня.
• EЧисло 2 является корнем уравнения.
• FУравнение имеет ровно четыре различных действительных корня.

Выберите все многогранники, у которых сумма числа вершин и числа граней равна 14.

• Aшестиугольная пирамида
• Bпятиугольная призма
• Cоктаэдр
• Dпятиугольная пирамида
• Eтреугольная призма
• Fчетырёхугольная призма

Даны вектор $\vec{a}(2;-4;6)$. Выберите все векторы, коллинеарные вектору $\vec{a}$.

• A$\vec{b}(2;4;-6)$
• B$\vec{b}(1;-2;3)$
• C$\vec{b}(-2;4;6)$
• D$\vec{b}(-1;2;-3)$
• E$\vec{b}(4;-8;12)$
• F$\vec{b}(1;2;3)$

Даны числа $x=2+\sqrt{3}$ и $y=2-\sqrt{3}$. Установите соответствие между выражениями и их значениями

Даны выражения $\frac{2^7\cdot 2^5}{2^{10}}$ и $(3^2)^3:3^4$. Установите соответствие между выражениями и их значениями

Известно, что $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ и $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$. Установите соответствие между выражением и его значением

Призма имеет 15 рёбер. Установите соответствие между характеристиками призмы и их значениями

Даны точки $A(2;-1;3)$, $B(4;1;2)$ и $C(1;3;8)$. Точка $M$ симметрична точке $A$ относительно точки $B$ (центральная симметрия с центром $B$). Точка $C'$ является образом точки $C$ при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{AB}$. Установите соответствие между величинами и их значениями