Математика пәнінен № 2159 тапсырма: Метрикалық қатыстар. Векторлар және түрлендірулер

Талдау

$\vec a=\overrightarrow{AB}$, $\vec d=\overrightarrow{AD}$ болсын. Сонда $|\vec a|=3$, $|\vec d|=5$, $\vec a\cdot\vec d=3\cdot5\cdot\cos60^\circ=7{,}5$. $\overrightarrow{BC}=\vec d$ және $BM:MC=2:3$ болғандықтан, $\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac{2}{5}\vec d$. $N$ — $CD$ кесіндісінің ортасы, сондықтан $\overrightarrow{AN}=\vec d+\frac12\vec a$. Онда $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac35\vec d-\frac12\vec a$. Ұзындығының квадраты: $|\overrightarrow{MN}|^2=\frac{9}{25}\cdot25+\frac14\cdot9-2\cdot\frac35\cdot\frac12\cdot7{,}5=9+2{,}25-4{,}5=6{,}75=\frac{27}{4}$. Демек, $MN=\frac{3\sqrt3}{2}$ см. «$\frac{3\sqrt{7}}{2}$ см» жауабы скаляр көбейтінді таңбасын қате алғанда шығады, «$\frac{3\sqrt{5}}{2}$ см» — скаляр көбейтіндіні ескермегенде, «$\frac{\sqrt{13}}{2}$ см» — қатынасты $2:3$ орнына $3:2$ деп алғанда шығады.