Задание № 2159 по математике: Метрические соотношения. Векторы и преобразования

Разбор

Пусть $\vec a=\overrightarrow{AB}$, $\vec d=\overrightarrow{AD}$. Тогда $|\vec a|=3$, $|\vec d|=5$, $\vec a\cdot\vec d=3\cdot5\cdot\cos60^\circ=7{,}5$. Так как $\overrightarrow{BC}=\vec d$ и $BM:MC=2:3$, то $\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac{2}{5}\vec d$. Точка $N$ — середина $CD$, значит $\overrightarrow{AN}=\vec d+\frac12\vec a$. Тогда $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac35\vec d-\frac12\vec a$. Находим квадрат длины: $|\overrightarrow{MN}|^2=\frac{9}{25}\cdot25+\frac14\cdot9-2\cdot\frac35\cdot\frac12\cdot7{,}5=9+2{,}25-4{,}5=6{,}75=\frac{27}{4}$. Отсюда $MN=\frac{3\sqrt3}{2}$ см. Вариант «$\frac{3\sqrt{7}}{2}$ см» получается при ошибке в знаке скалярного слагаемого, «$\frac{3\sqrt{5}}{2}$ см» — если скалярное произведение отброшено, «$\frac{\sqrt{13}}{2}$ см» — при отношении $3:2$ вместо $2:3$.