Математика пәнінен № 5109 тапсырма: Тригонометриялық теңдеулер жүйелері. Иррационал теңдеулер жүйелері. Көрсеткіштік теңдеулер жүйелері. Логарифмдік теңдеулер жүйелері

Талдау

Анықталу облысы: $x>0$, $y>0$, $x\ne1$, $y\ne1$. Екінші теңдеуден $\log_2(xy)=6$, яғни $xy=64$. Бірінші теңдеуде $t=\log_x y$ белгілейміз, сонда $\log_y x=\frac{1}{t}$ және $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$, бұдан $2t^2-5t+2=0$, $t=2$ немесе $t=\frac{1}{2}$. $t=2$ болса, $y=x^2$, $x^3=64$, $x=4$, $y=16$, ал $x-y=-12$. $t=\frac{1}{2}$ болса, $y=\sqrt{x}$, $x^{3/2}=64$, $x=16$, $y=4$, ал $x-y=12$. Екі жұп та анықталу облысына сәйкес келеді және тексеруден өтеді: $\log_4 16+\log_{16}4=2+\frac{1}{2}$. Айырманың ең кіші мәні «–12».