Задание № 5109 по математике: Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений

Разбор

Область допустимых значений: $x>0$, $y>0$, $x\ne1$, $y\ne1$. Второе уравнение даёт $\log_2(xy)=6$, то есть $xy=64$. В первом уравнении положим $t=\log_x y$, тогда $\log_y x=\frac{1}{t}$ и $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$, откуда $2t^2-5t+2=0$, $t=2$ или $t=\frac{1}{2}$. Если $t=2$, то $y=x^2$, $x^3=64$, $x=4$, $y=16$, и разность $x-y=-12$. Если $t=\frac{1}{2}$, то $y=\sqrt{x}$, $x^{3/2}=64$, $x=16$, $y=4$, и разность $x-y=12$. Обе пары удовлетворяют области допустимых значений и проверке: $\log_4 16+\log_{16}4=2+\frac{1}{2}$. Наименьшее значение разности равно «–12».