Задание № 4289 по математике: Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений

Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравненийПо тексту · сложное

Математический турнир. На школьном турнире команда получила пять карточек с системами уравнений. Карточка 1 (показательная): $\begin{cases} 2^{x+y}=32 \\ 3^{x-y}=27 \end{cases}$ . Карточка 2 (логарифмическая): $\begin{cases} \log_2 x+\log_2 y=5 \\ x-y=4 \end{cases}$ . Карточка 3 (иррациональная): $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 \\ x-y=5 \end{cases}$ . Карточка 4 (тригонометрическая): $\begin{cases} x+y=\frac{2\pi}{3} \\ \cos x\cos y=\frac{1}{4} \end{cases}$ , где $x>0$ , $y>0$ . Карточка 5 (показательная с суммой): $\begin{cases} 2^x+2^y=12 \\ x+y=5 \end{cases}$ . Жюри проверяет решения команды, сверяя их с ответами к карточкам.

Решите систему $\begin{cases} x+y=\frac{2\pi}{3} \\ \cos x\cos y=\frac{1}{4} \end{cases}$ при $x>0$ , $y>0$ . Чему равно $x$ ?

A $\frac{2\pi}{3}$
B $\frac{\pi}{6}$
C $\frac{\pi}{3}$
D $\frac{\pi}{4}$

Показать ответ и разборСкрыть ответ и разбор

Верный ответ

C $\frac{\pi}{3}$

Разбор

Применим формулу произведения косинусов: $\cos x\cos y=\frac{1}{2}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right)$ . Так как $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ , получаем $\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\cos(x-y)\right)$ , откуда $\cos(x-y)=1$ и $x-y=2\pi k$ . Из $x>0$ , $y>0$ и $x+y=\frac{2\pi}{3}$ следует $|x-y|<\frac{2\pi}{3}$ , поэтому $k=0$ и $x=y$ . Тогда $2x=\frac{2\pi}{3}$ , $x=\frac{\pi}{3}$ .

Ошибка в задании

Потренируйте эту тему

12 заданий по одному, с ответом и разбором сразу. Без лимита времени.

Похожие задания по этой теме

Потренируйте эту тему

Соберите пробник с таймером