Задание № 4290 по математике: Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений

Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравненийПо тексту · сложное

Математический турнир. На школьном турнире команда получила пять карточек с системами уравнений. Карточка 1 (показательная): $\begin{cases} 2^{x+y}=32 \\ 3^{x-y}=27 \end{cases}$ . Карточка 2 (логарифмическая): $\begin{cases} \log_2 x+\log_2 y=5 \\ x-y=4 \end{cases}$ . Карточка 3 (иррациональная): $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 \\ x-y=5 \end{cases}$ . Карточка 4 (тригонометрическая): $\begin{cases} x+y=\frac{2\pi}{3} \\ \cos x\cos y=\frac{1}{4} \end{cases}$ , где $x>0$ , $y>0$ . Карточка 5 (показательная с суммой): $\begin{cases} 2^x+2^y=12 \\ x+y=5 \end{cases}$ . Жюри проверяет решения команды, сверяя их с ответами к карточкам.

Система $\begin{cases} 2^x+2^y=12 \\ x+y=5 \end{cases}$ имеет несколько решений. Найдите наибольшее значение $x$ среди всех её решений.

Показать ответ и разборСкрыть ответ и разбор

Верный ответ

Разбор

Пусть $u=2^x$ , $v=2^y$ . Тогда $u+v=12$ , а $uv=2^{x+y}=2^5=32$ . Числа $u$ и $v$ — корни уравнения $t^2-12t+32=0$ , то есть 4 и 8. Значит, $2^x$ равно 4 или 8, откуда $x=2$ или $x=3$ (тогда $y=3$ или $y=2$ ). Наибольшее значение $x$ равно 3. Число «8» — это значение $2^x$ , а не самого $x$ .

Ошибка в задании

Потренируйте эту тему

12 заданий по одному, с ответом и разбором сразу. Без лимита времени.

Похожие задания по этой теме

Потренируйте эту тему

Соберите пробник с таймером