Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар

Талдау

Сандарды $a-d$, $a$, $a+d$ деп белгілейміз, мұндағы $d>0$. Шарттан $3a=15$ болғандықтан, $a=5$. Қосқаннан кейін $6-d$, $9$, $24+d$ сандары шығады, геометриялық прогрессияның қасиеті бойынша $(6-d)(24+d)=81$, осыдан $d^2+18d-63=0$, яғни $d=3$ немесе $d=-21$. $d>0$ шартына $d=3$ сәйкес келеді, олай болса, ізделінді сандар 2, 5 және 8 (тексеру: 3, 9, 27 — еселігі 3-ке тең геометриялық прогрессия).

Талдау

$b_6=b_3\cdot q^3$ теңдігінен $q^3=\frac{80}{10}=8$ аламыз, осыдан $q=2$. Сонда $b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{10}{4}=2{,}5$. Алғашқы бес мүшенің қосындысы: $S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{2{,}5\cdot(32-1)}{1}=77{,}5$. Екінші өрнек: $19\cdot b_1=19\cdot 2{,}5=47{,}5$.

Талдау

Арифметикалық прогрессияның мүшелері — 6-дан $a_{61}=6+2\cdot60=126$ дейінгі жұп сандар. Геометриялық прогрессия екінің дәрежелерінен $2^0, 2^1, \dots, 2^{60}$ тұрады, және олардың 1-ден басқасы түгелдей жұп. Ортақ мүшелер 6-дан 126-ға дейінгі аралықта жатқан екінің дәрежелері болады: бұлар 8, 16, 32, 64. 4 саны 6-дан кіші, ал 128 саны 126-дан үлкен, сондықтан ортақ мүшелер саны 4.