Арифметическая и геометрическая прогрессии

Разбор

Обозначим числа $a-d$, $a$, $a+d$, где $d>0$. Из условия $3a=15$ получаем $a=5$. После прибавления получаются числа $6-d$, $9$, $24+d$, и по свойству геометрической прогрессии $(6-d)(24+d)=81$, откуда $d^2+18d-63=0$, то есть $d=3$ или $d=-21$. Условию $d>0$ подходит $d=3$, значит, искомые числа 2, 5 и 8 (проверка: 3, 9, 27 — геометрическая прогрессия со знаменателем 3).

Разбор

Из $b_6=b_3\cdot q^3$ получаем $q^3=\frac{80}{10}=8$, откуда $q=2$. Тогда $b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{10}{4}=2{,}5$. Сумма первых пяти членов: $S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{2{,}5\cdot(32-1)}{1}=77{,}5$. Второе выражение: $19\cdot b_1=19\cdot 2{,}5=47{,}5$.

Разбор

Члены арифметической прогрессии — чётные числа от 6 до $a_{61}=6+2\cdot60=126$. Геометрическая прогрессия состоит из степеней двойки $2^0, 2^1, \dots, 2^{60}$, и все они, кроме 1, чётные. Общими будут степени двойки из промежутка от 6 до 126: это 8, 16, 32, 64. Число 4 меньше 6, а 128 больше 126, поэтому одинаковых членов 4.