Кеңістіктегі метрикалық қатыстар

5 тапсырма, оның 4-і талдаумен · «Стереометрия» бөлімі

Мәтін бойынша · жеңіл
Конус. «Конус» сөзі грек тілінен шыққан, мағынасы — «қарағай бүрі». $H=12$ см, $R=5$ см. Артем өзінің туған күніне мектептегі достары Аружанды, Айшаны, Данилды және Мирасты шақыруға шешім қабылдады. Ол өзіне және қонақтарына конус тәрізді мерекелік бас киім — қалпақ дайындады (бір қалпақ жасау үшін: А4 форматты (29,7×21) см 1 парақ қағаз, ұзындығы 8 см резеңке және әртүрлі түсті лентелер қажет).
Егер стақан мен мерекелік қалпақтың көлемдері бірдей болса, онда стақанға қанша шырын сыяр еді? $(\pi\approx3)$
1. A300 см³
2. B280 см³
3. C200 см³
4. D250 см³
Жауап пен талдауды көрсету
Дұрыс жауап
- A300 см³
Талдау
Қалпақ биіктігі $H=12$ см және табанының радиусы $R=5$ см болатын конус пішінді. Конустың көлемін $V=\frac{1}{3}\pi R^2H$ формуласымен табамыз. Берілгендерді қойсақ: $V=\frac{1}{3}\cdot3\cdot5^2\cdot12=25\cdot12=300$ см³. Стақанның көлемі де сондай, сондықтан оған 300 см³ шырын сыяды.
482-тапсырманы ашу
Мәтін бойынша · орташа
Конус. «Конус» сөзі грек тілінен шыққан, мағынасы — «қарағай бүрі». $H=12$ см, $R=5$ см. Артем өзінің туған күніне мектептегі достары Аружанды, Айшаны, Данилды және Мирасты шақыруға шешім қабылдады. Ол өзіне және қонақтарына конус тәрізді мерекелік бас киім — қалпақ дайындады (бір қалпақ жасау үшін: А4 форматты (29,7×21) см 1 парақ қағаз, ұзындығы 8 см резеңке және әртүрлі түсті лентелер қажет).
Егер колпақтың биіктігін және табан радиусын 3 см-ге арттырса, оның бүйір бетінің ауданы қаншаға артады?
1. A $72\pi$ см²
2. B $71\pi$ см²
3. C $70\pi$ см²
4. D $69\pi$ см²
Жауап пен талдауды көрсету
Дұрыс жауап
- B $71\pi$ см²
Талдау
Конустың бүйір бетінің ауданы $S=\pi R l$ формуласымен табылады, мұндағы $l$ — конустың жасаушысы. Алдымен $l=\sqrt{12^2+5^2}=13$ см, сондықтан $S_1=\pi\cdot5\cdot13=65\pi$ см². Ұлғайтқаннан кейін $H=15$ см және $R=8$ см, сонда $l=\sqrt{15^2+8^2}=17$ см және $S_2=\pi\cdot8\cdot17=136\pi$ см². Айырма $136\pi-65\pi=71\pi$ см².
480-тапсырманы ашу
Мәтін бойынша · жеңіл
Конус. «Конус» сөзі грек тілінен шыққан, мағынасы — «қарағай бүрі». $H=12$ см, $R=5$ см. Артем өзінің туған күніне мектептегі достары Аружанды, Айшаны, Данилды және Мирасты шақыруға шешім қабылдады. Ол өзіне және қонақтарына конус тәрізді мерекелік бас киім — қалпақ дайындады (бір қалпақ жасау үшін: А4 форматты (29,7×21) см 1 парақ қағаз, ұзындығы 8 см резеңке және әртүрлі түсті лентелер қажет).
Конустың табанының ауданын табыңыз $(\pi\approx3)$
1. A70 см²
2. B65 см²
3. C72 см²
4. D75 см²
Жауап пен талдауды көрсету
Дұрыс жауап
- D75 см²
Бұл тапсырманың талдауы әзірге жоқ.
478-тапсырманы ашу
Бір жауап · орташа
Конустың жасаушысы 2-ге тең және табан жазықтығымен $30^\circ$ бұрыш жасайды. Конус табанының ауданын табыңыз.
1. A $3\pi$
2. B $\frac{\pi}{2}$
3. C $2\pi$
4. D $\pi$
Жауап пен талдауды көрсету
Дұрыс жауап
- A $3\pi$
Талдау
Жасаушы, биіктік және табан радиусы тікбұрышты үшбұрыш құрайды, онда жасаушы мен радиус арасындағы бұрыш $30^\circ$ -қа тең. Радиус — осы бұрышқа іргелес катет: $R = l\cos 30^\circ = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ . Табанның ауданы: $S = \pi R^2 = \pi\cdot 3 = 3\pi$ .
467-тапсырманы ашу
Бір жауап · жеңіл
Конустың радиусын үш есе арттырды. Конустың көлемі неше есе артты?
1. A3 есе
2. B27 есе
3. C9 есе
4. D18 есе
Жауап пен талдауды көрсету
Дұрыс жауап
- C9 есе
Талдау
Конустың көлемі $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$ формуласымен есептеледі, яғни биіктік өзгермегенде ол радиустың квадратына пропорционал. Егер радиусты үш есе үлкейтсек, $V_1=\frac{1}{3}\pi (3r)^2 h=9\cdot\frac{1}{3}\pi r^2 h=9V$ шығады. Демек, конустың көлемі 9 есе артты.
461-тапсырманы ашу