Метрические соотношения в пространстве

7 заданий, из них 5 с разбором · раздел «Стереометрия»

По тексту · лёгкое
Конус. Слово «конус» греческого происхождения и означает - «сосновая шишка». $H=12$ см, $R=5$ см. Артем на свой день рождения решил пригласить школьных друзей: Аружан, Айшу, Данила и Мираса. Приготовил для себя и своих гостей конусообразный праздничный головной убор - колпак (для приготовления одного колпака понадобится: 1 лист бумаги формата А4 (29,7×21) см, резинку длиной 8 см и ленты разных цветов).
Если стакан и праздничный колпак имеют одинаковые объемы, то сколько бы поместилось сока в стакан? $(\pi\approx3)$
1. A300 см³
2. B280 см³
3. C200 см³
4. D250 см³
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- A300 см³
Разбор
Колпак имеет форму конуса с высотой $H=12$ см и радиусом основания $R=5$ см. Объём конуса находим по формуле $V=\frac{1}{3}\pi R^2H$ . Подставляем данные: $V=\frac{1}{3}\cdot3\cdot5^2\cdot12=25\cdot12=300$ см³. Объём стакана такой же, поэтому в него поместится 300 см³ сока.
Открыть задание 482
По тексту · среднее
Конус. Слово «конус» греческого происхождения и означает - «сосновая шишка». $H=12$ см, $R=5$ см. Артем на свой день рождения решил пригласить школьных друзей: Аружан, Айшу, Данила и Мираса. Приготовил для себя и своих гостей конусообразный праздничный головной убор - колпак (для приготовления одного колпака понадобится: 1 лист бумаги формата А4 (29,7×21) см, резинку длиной 8 см и ленты разных цветов).
Найдите сколько нужно ленты, чтобы обвить края всех колпаков блестящей лентой шириной 1 см? $(\pi\approx3)$
1. A110 см
2. B150 см
3. C100 см
4. D130 см
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- B150 см
Разбора у этого задания пока нет.
Открыть задание 481
По тексту · среднее
Конус. Слово «конус» греческого происхождения и означает - «сосновая шишка». $H=12$ см, $R=5$ см. Артем на свой день рождения решил пригласить школьных друзей: Аружан, Айшу, Данила и Мираса. Приготовил для себя и своих гостей конусообразный праздничный головной убор - колпак (для приготовления одного колпака понадобится: 1 лист бумаги формата А4 (29,7×21) см, резинку длиной 8 см и ленты разных цветов).
На сколько увеличится боковая поверхность колпака, если высоту и радиус основания увеличить на 3 см?
1. A $72\pi$ см²
2. B $71\pi$ см²
3. C $70\pi$ см²
4. D $69\pi$ см²
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- B $71\pi$ см²
Разбор
Боковая поверхность конуса находится по формуле $S=\pi R l$ , где $l$ — образующая. Сначала $l=\sqrt{12^2+5^2}=13$ см, поэтому $S_1=\pi\cdot5\cdot13=65\pi$ см². После увеличения $H=15$ см и $R=8$ см, тогда $l=\sqrt{15^2+8^2}=17$ см и $S_2=\pi\cdot8\cdot17=136\pi$ см². Разность равна $136\pi-65\pi=71\pi$ см².
Открыть задание 480
По тексту · лёгкое
Конус. Слово «конус» греческого происхождения и означает - «сосновая шишка». $H=12$ см, $R=5$ см. Артем на свой день рождения решил пригласить школьных друзей: Аружан, Айшу, Данила и Мираса. Приготовил для себя и своих гостей конусообразный праздничный головной убор - колпак (для приготовления одного колпака понадобится: 1 лист бумаги формата А4 (29,7×21) см, резинку длиной 8 см и ленты разных цветов).
Найдите площадь боковой поверхности конуса. $(\pi\approx3)$
1. A200 см²
2. B205 см²
3. C190 см²
4. D195 см²
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- D195 см²
Разбора у этого задания пока нет.
Открыть задание 479
По тексту · лёгкое
Конус. Слово «конус» греческого происхождения и означает - «сосновая шишка». $H=12$ см, $R=5$ см. Артем на свой день рождения решил пригласить школьных друзей: Аружан, Айшу, Данила и Мираса. Приготовил для себя и своих гостей конусообразный праздничный головной убор - колпак (для приготовления одного колпака понадобится: 1 лист бумаги формата А4 (29,7×21) см, резинку длиной 8 см и ленты разных цветов).
Найдите площадь основания конуса $(\pi\approx3)$
1. A70 см²
2. B65 см²
3. C72 см²
4. D75 см²
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- D75 см²
Разбор
Основание конуса — круг радиуса $R=5$ см. Его площадь находим по формуле $S=\pi R^2$ . Подставляем данные: $S\approx3\cdot5^2=3\cdot25=75$ см². Значит, площадь основания конуса равна 75 см².
Открыть задание 478
Один ответ · среднее
Образующая конуса равна 2 и составляет с плоскостью основания угол $30^\circ$ . Найдите площадь основания конуса.
1. A $3\pi$
2. B $\frac{\pi}{2}$
3. C $2\pi$
4. D $\pi$
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- A $3\pi$
Разбор
Образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, в котором угол между образующей и радиусом равен $30^\circ$ . Радиус — прилежащий к этому углу катет: $R = l\cos 30^\circ = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ . Площадь основания: $S = \pi R^2 = \pi\cdot 3 = 3\pi$ .
Открыть задание 467
Один ответ · лёгкое
Радиус конуса увеличили в три раза. Во сколько раз увеличился объем конуса?
1. Aв 3 раза
2. Bв 27 раз
3. Cв 9 раз
4. Dв 18 раз
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- Cв 9 раз
Разбор
Объём конуса вычисляется по формуле $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$ , то есть он пропорционален квадрату радиуса при неизменной высоте. Если радиус увеличить в три раза, получим $V_1=\frac{1}{3}\pi (3r)^2 h=9\cdot\frac{1}{3}\pi r^2 h=9V$ . Значит, объём конуса увеличился в 9 раз.
Открыть задание 461