Математика пәнінен № 4712 тапсырма: Метрикалық қатыстар. Векторлар және түрлендірулер

Талдау

$\vec a=\overrightarrow{AB}$, $\vec b=\overrightarrow{AD}$ деп алайық. Сонда $\vec a\cdot\vec b=4\cdot6\cdot\cos60^\circ=12$, $\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a$, $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$. 1) $BD$ диагоналінің ұзындығының квадраты: $|\vec b-\vec a|^2=36+16-2\cdot12=28$, яғни $BD=2\sqrt{7}$. Коэффициенті 2 гомотетия барлық ұзындықты екі есе үлкейтеді, сондықтан $B_1D_1=2\cdot2\sqrt{7}=4\sqrt{7}$. «$2\sqrt{19}$» және «$4\sqrt{19}$» мәндері басқа $AC$ диагоналіне сәйкес келеді, ал «$2\sqrt{7}$» гомотетияны ескермей алынған $BD$ ұзындығы. 2) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec b-\vec a)=|\vec b|^2-|\vec a|^2=36-16=20$. «12» мәні тек $\vec a\cdot\vec b$ болады, «52» қабырғалар квадраттарының қосындысы, «28» — $BD$ диагоналінің квадраты.