Задание № 4712 по математике: Метрические соотношения. Векторы и преобразования

Разбор

Пусть $\vec a=\overrightarrow{AB}$, $\vec b=\overrightarrow{AD}$. Тогда $\vec a\cdot\vec b=4\cdot6\cdot\cos60^\circ=12$, $\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a$, $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$. 1) Квадрат длины диагонали $BD$: $|\vec b-\vec a|^2=36+16-2\cdot12=28$, значит $BD=2\sqrt{7}$. Гомотетия с коэффициентом 2 увеличивает все длины вдвое, поэтому $B_1D_1=2\cdot2\sqrt{7}=4\sqrt{7}$. Значения «$2\sqrt{19}$» и «$4\sqrt{19}$» получаются для другой диагонали $AC$, а «$2\sqrt{7}$» соответствует длине $BD$ без учета гомотетии. 2) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec b-\vec a)=|\vec b|^2-|\vec a|^2=36-16=20$. Значение «12» — это только $\vec a\cdot\vec b$, «52» — сумма квадратов сторон, «28» — квадрат диагонали $BD$.