Математика пәнінен № 4771 тапсырма: Сызықтық теңдеулер. Квадрат теңдеулер. Бөлшек-рационал теңдеулер

Талдау

Анықталу облысы: $x\neq 0$. $t=x+\frac{1}{x}$ деп алайық, сонда $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$. Теңдеу $t^2-2-5t+8=0$, яғни $t^2-5t+6=0$ түріне келеді, одан $t=2$ немесе $t=3$. $t=2$ болғанда: $x+\frac{1}{x}=2$, яғни $(x-1)^2=0$, $x=1$. $t=3$ болғанда: $x^2-3x+1=0$, $D=5>0$, $x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$. Барлығы үш түрлі түбір бар: $1$ және $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$, сондықтан «дәл үш түрлі нақты түбірі бар» дұрыс, ал «дәл төрт» дұрыс емес ($x=1$ екі еселі түбір, ол бір рет саналады). Түрлі түбірлердің қосындысы: $1+3=4$, дұрыс. Көбейтіндісі: $1\cdot 1=1$, дұрыс. Квадраттарының қосындысы: $1+\left(3^2-2\cdot 1\right)=1+7=8$, сондықтан «7» дұрыс емес (1 түбірі ескерілмеген). 2 санын тексеру: $4+\frac{1}{4}-5\cdot 2{,}5+8=-0{,}25\neq 0$, демек 2 түбір емес.