Задание № 4771 по математике: Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Дробно-рациональные уравнения

Разбор

Область определения: $x\neq 0$. Пусть $t=x+\frac{1}{x}$, тогда $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$. Уравнение принимает вид $t^2-2-5t+8=0$, то есть $t^2-5t+6=0$, откуда $t=2$ или $t=3$. Случай $t=2$: $x+\frac{1}{x}=2$, то есть $(x-1)^2=0$, $x=1$. Случай $t=3$: $x^2-3x+1=0$, $D=5>0$, $x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$. Итого три различных корня: $1$ и $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$, поэтому «ровно три различных корня» верно, а «ровно четыре» неверно (корень $x=1$ двукратный и считается один раз). Сумма различных корней: $1+3=4$, верно. Произведение: $1\cdot 1=1$, верно. Сумма квадратов: $1+\left(3^2-2\cdot 1\right)=1+7=8$, поэтому «7» неверно (забыт корень 1). Проверка числа 2: $4+\frac{1}{4}-5\cdot 2{,}5+8=-0{,}25\neq 0$, значит 2 не корень.