Законы сохранения

Разбор

За короткое время взрыва внешним импульсом пренебрегаем, поэтому сохраняется импульс системы.
Исходные данные: до взрыва $m=4{,}0$ кг, $v_0=20$ м/с горизонтально, импульс $\vec p_0 = m\vec v_0$, $p_{0x}=80$ кг·м/с, $p_{0y}=0$.
Первый осколок: $m_1=1{,}0$ кг, $v_1=30$ м/с, угол $60^\circ$ вверх: $v_{1x}=30\cos60^\circ=15$ м/с, $v_{1y}=30\sin60^\circ=15\sqrt3\approx25{,}98$ м/с. Тогда импульс первого: $p_{1x}=15$ кг·м/с, $p_{1y}=25{,}98$ кг·м/с.
Второй осколок: $m_2=3{,}0$ кг, импульс $\vec p_2=\vec p_0-\vec p_1$.
По осям: $p_{2x}=80-15=65$ кг·м/с, $p_{2y}=0-25{,}98=-25{,}98$ кг·м/с.
Скорости второго: $v_{2x}=p_{2x}/m_2=65/3\approx21{,}67$ м/с, $v_{2y}=p_{2y}/m_2\approx-8{,}66$ м/с. Угол ниже горизонта: $\tan\theta=|v_{2y}|/v_{2x}\approx8{,}66/21{,}67\Rightarrow \theta\approx21{,}8^\circ$.
Модуль импульса второго: $|\vec p_2|=\sqrt{65^2+25{,}98^2}\approx70$ кг·м/с (не 65), а его горизонтальная составляющая скорости больше 20 м/с.
Скорость центра масс не меняется: $\vec v_{\text{см}}=\vec p_0/m=20$ м/с горизонтально.
Кинетическая энергия: до взрыва $K_0=\tfrac12\cdot4{,}0\cdot20^2=800$ Дж. После: $K_1=\tfrac12\cdot1{,}0\cdot30^2=450$ Дж, $v_2=\sqrt{21{,}67^2+8{,}66^2}\approx23{,}33$ м/с, $K_2=\tfrac12\cdot3{,}0\cdot23{,}33^2\approx816$ Дж, $K_\text{после}\approx1266$ Дж, то есть энергия возросла.
Вертикальная составляющая суммарного импульса после взрыва равна нулю, как и до взрыва.
Итого верны: 1, 3, 5.

Разбор

Так как внешние горизонтальные силы отсутствуют, импульс системы сохраняется: $\vec p_\text{сист}=0$. После разжатия $\vec p_1+\vec p_2=0$, следовательно $|p_1|=|p_2|$ — верно (1), и общий импульс системы равен нулю — верно (5).
При $|p_1|=|p_2|$ из $p_1=m_1 v_1$ и $p_2=m_2 v_2$ следует $m_1 v_1=m_2 v_2$, значит $v_1/v_2=m_2/m_1=1{,}0/0{,}5=2$. Отношение скоростей $v_1\!:\!v_2=2\!:\!1$ — верно (2).
Кинетические энергии при одинаковых по модулю импульсах: $E_{k,i}=p^2/(2m_i)$, поэтому больше у меньшей массы; утверждение о большей энергии тяжёлой тележки ложно (3 — неверно).
Вся энергия пружины переходит в суммарную кинетическую: $E_k=4{,}5$ Дж, значит (6) ложно. Для численных скоростей: $4{,}5=\dfrac{p^2}{2}\!\left(\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2}\right)=\dfrac{p^2}{2}(2+1)$, откуда $p^2=3$, $p=\sqrt{3}\approx1{,}73$ кг·м/с. Тогда $v_1=p/m_1\approx1{,}73/0{,}5\approx3{,}46$ м/с, $v_2\approx1{,}73$ м/с. Значит скорость лёгкой тележки не 3,0 м/с — (4) ложно.

Разбор

Так как система из двух тележек изолирована по горизонтали, проекция импульса сохраняется, а значит скорость центра масс постоянна: $V_{cm} = \dfrac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1+m_2} = \dfrac{0{,}4\cdot 3{,}0 + 0{,}6\cdot 0}{1{,}0} = 1{,}2$ м/с. Для соударения в одной прямой используем закон сохранения импульса $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$ и определение коэффициента восстановления $e = \dfrac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$. При $e=0{,}5$, $u_1=3{,}0$ м/с, $u_2=0$ получаем $v_2 - v_1 = 1{,}5$. Из импульса: $0{,}4 v_1 + 0{,}6 v_2 = 1{,}2$. Решая, имеем $v_1 = 0{,}3$ м/с, $v_2 = 1{,}8$ м/с (вправо). Тогда варианты A и B верны. Импульс первой тележки после удара $p_1 = m_1 v_1 = 0{,}4\cdot 0{,}3 = 0{,}12$ кг·м/с вправо — верно (D). Потеря кинетической энергии: $K_i = \tfrac12\cdot 0{,}4\cdot 3{,}0^2 = 1{,}8$ Дж; $K_f = \tfrac12\,(0{,}4\cdot 0{,}3^2 + 0{,}6\cdot 1{,}8^2) = 0{,}99$ Дж; $\Delta K = 0{,}81$ Дж, а не 0,6 Дж — C неверно. Первая тележка замедлялась, значит сила со стороны второй была направлена влево — E неверно. Относительная скорость разлёта $v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2) = 1{,}5$ м/с, а не 3,0 м/с — F неверно.

Разбор

Анализ по случаям.
I: Столкновение упругое, внешних сил нет (плоскость гладкая), значит импульс замкнутой системы и полная кинетическая энергия системы сохраняются. Утверждение 1 верно. Импульсы отдельных шаров не сохраняются (они меняются при взаимодействии), поэтому утверждение 6 ложно.
II: За очень короткое время неупругого удара на систему пуля+брусок внешние горизонтальные силы отсутствуют, значит импульс системы сохраняется. Кинетическая энергия при неупругом соединении уменьшается, превращаясь в внутреннюю энергию, значит утверждение 2 верно.
III: При абсолютно упругом отражении от неподвижной стены мяч испытывает внешний импульс со стороны стены, поэтому импульс мяча не сохраняется и утверждение 3 ложно. Однако модуль скорости мяча сохраняется, следовательно, его кинетическая энергия сохраняется и утверждение 4 верно.
IV: Лёд гладкий, горизонтальных внешних сил на систему конькобежец+груз нет, поэтому импульс системы сохраняется. В процессе броска внутренняя (химическая) энергия переходит в кинетическую, так что кинетическая энергия системы может увеличиться; значит утверждение 5, где сказано, что импульс не сохраняется, — ложно.
Итого верны 1, 2 и 4.