Задание № 2078 по математике: Системы линейных уравнений с двумя переменными. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными

Разбор

Первое уравнение задаёт окружность с центром $(1;-2)$ и радиусом 3. Второе задаёт прямую $2x-y+a=0$. Система имеет два решения, когда прямая пересекает окружность в двух точках, то есть когда расстояние от центра до прямой меньше радиуса. Расстояние равно $\frac{|2\cdot 1-(-2)+a|}{\sqrt{5}}=\frac{|a+4|}{\sqrt{5}}$. Условие $\frac{|a+4|}{\sqrt{5}}<3$ даёт $|a+4|<3\sqrt{5}=\sqrt{45}$, а $6<\sqrt{45}<7$. Значит, целые значения $a+4$ принимают значения от $-6$ до $6$ включительно, то есть 13 значений. Ответ: «13».