Математикалық анализ бастамалары. Математикалық модельдеудің көмегімен есеп шығару

Талдау

Жанасу нүктесіндегі функцияның мәнін табамыз: $y(1)=2\cdot1^2-1+3=4$. Туынды $y'=4x-1$ тең, сондықтан жанаманың бұрыштық коэффициенті $k=y'(1)=3$. Жанаманың теңдеуіне $y=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$ қоямыз: $y=4+3(x-1)=3x+1$.

Талдау

Функцияның туындысы: $y'=2x-4$. Графиктердің қиылысу нүктелерін табамыз: $x^2-4x+4=2x-4$, осыдан $x^2-6x+8=0$, яғни $x_1=2$, $x_2=4$. $[2;4]$ кесіндісінде түзу параболадан жоғары орналасқан, сондықтан $$S=\int_2^4\left((2x-4)-(x^2-4x+4)\right)dx=\int_2^4(-x^2+6x-8)\,dx.$$ Есептейміз: $$\left(-\frac{x^3}{3}+3x^2-8x\right)\Big|_2^4=-\frac{16}{3}-\left(-\frac{20}{3}\right)=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$$ шаршы бірлік.

Талдау

Қосындының интегралы интегралдардың қосындысына тең, сондықтан әр қосылғышты бөлек интегралдаймыз. Алғашқы функциялар кестесі бойынша $\int e^x\,dx=e^x$, $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}$, демек $\int 2^x\,dx=\frac{2^x}{\ln 2}$ және $\int 1\,dx=x$. Оларды қосып, тұрақты шаманы жазғанда $e^x+\frac{2^x}{\ln 2}+x+C$ шығады.

Талдау

Тұрақты $\sqrt{7}$ санының туындысы нөлге тең, ал түбірді күрделі функция ретінде дифференциалдаймыз: $(\sqrt{2x+5})'=\frac{2}{2\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$. Демек, $y'=2x+\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$. $x_0=-2$ мәнін қояйық: $y'(-2)=2\cdot(-2)+\frac{1}{\sqrt{-4+5}}=-4+1=-3$.

Талдау

Кестелік интегралды қолданамыз: $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$. $t=x-3$ алмастыруын жасаймыз, сонда $dt=dx$ және интеграл $\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C$ түрін алады. $x$ айнымалысына қайта оралсақ, $\int\frac{dx}{x-3}=\ln|x-3|+C$ болады. Тексеру: $(\ln|x-3|)'=\frac{1}{x-3}$, логарифм алдындағы коэффициент 1-ге тең.