Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования

Разбор

Найдём значение функции в точке касания: $y(1)=2\cdot1^2-1+3=4$. Производная равна $y'=4x-1$, поэтому угловой коэффициент касательной $k=y'(1)=3$. Подставим в уравнение касательной $y=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$: $y=4+3(x-1)=3x+1$.

Разбор

Производная функции: $y'=2x-4$. Находим точки пересечения графиков: $x^2-4x+4=2x-4$, откуда $x^2-6x+8=0$, то есть $x_1=2$, $x_2=4$. На отрезке $[2;4]$ прямая лежит выше параболы, поэтому $$S=\int_2^4\left((2x-4)-(x^2-4x+4)\right)dx=\int_2^4(-x^2+6x-8)\,dx.$$ Вычисляем: $$\left(-\frac{x^3}{3}+3x^2-8x\right)\Big|_2^4=-\frac{16}{3}-\left(-\frac{20}{3}\right)=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$$ кв. ед.

Разбор

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому каждое слагаемое интегрируем отдельно. По таблице первообразных $\int e^x\,dx=e^x$, $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}$, значит $\int 2^x\,dx=\frac{2^x}{\ln 2}$, и $\int 1\,dx=x$. Складывая и добавляя постоянную, получаем $e^x+\frac{2^x}{\ln 2}+x+C$.

Разбор

Производная постоянной $\sqrt{7}$ равна нулю, а корень дифференцируем как сложная функция: $(\sqrt{2x+5})'=\frac{2}{2\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$. Значит, $y'=2x+\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$. Подставим $x_0=-2$: $y'(-2)=2\cdot(-2)+\frac{1}{\sqrt{-4+5}}=-4+1=-3$.

Разбор

Используем табличный интеграл $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$. Сделаем замену $t=x-3$, тогда $dt=dx$, и интеграл принимает вид $\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем $\int\frac{dx}{x-3}=\ln|x-3|+C$. Проверка: $(\ln|x-3|)'=\frac{1}{x-3}$, коэффициент перед логарифмом равен 1.