Задание № 2378 по математике: Тригонометрия

Разбор

Возведём условие в квадрат: $1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25}$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{12}{25}$. Значит, $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ — корни уравнения $25t^2+5t-12=0$: $D=1225$, $t=\frac{-5\pm35}{50}$, то есть $\frac{3}{5}$ и $-\frac{4}{5}$. В четвёртой четверти $\cos\alpha>0$, $\sin\alpha<0$, поэтому $\cos\alpha=\frac{3}{5}$, $\sin\alpha=-\frac{4}{5}$. Тогда $\operatorname{tg}\alpha=-\frac{4}{3}$, $\operatorname{ctg}\alpha=-\frac{3}{4}$. Проверка вариантов: «$\sin\alpha-\cos\alpha=-\frac{7}{5}$» верно, так как $-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=-\frac{7}{5}$. «$\sin 2\alpha=-\frac{24}{25}$» верно, так как $2\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\frac{3}{5}=-\frac{24}{25}$. «$\operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{7}$» верно: $\frac{-\frac{4}{3}+1}{1+\frac{4}{3}}=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}}=-\frac{1}{7}$. «$\cos 2\alpha=\frac{7}{25}$» неверно: $\cos 2\alpha=\frac{9}{25}-\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}$. «$\operatorname{ctg}\alpha=-\frac{4}{3}$» неверно, это значение тангенса. «$\sin\alpha=\frac{4}{5}$» неверно, так как в четвёртой четверти синус отрицателен.