Задание № 3528 по математике: Действия с радикалами. Числовые и буквенные выражения. Дробные и целые выражения

Разбор

Выделим полные квадраты под корнями. $14+6\sqrt{5}=(3+\sqrt{5})^2$, так как $9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}$, поэтому $\sqrt{14+6\sqrt{5}}=3+\sqrt{5}$. $9-4\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)^2$, так как $5+4-4\sqrt{5}$, и $\sqrt{5}-2>0$, поэтому $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2$ (по модулю: $|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$). $9+4\sqrt{5}=(\sqrt{5}+2)^2$, поэтому $\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{5}+2$. Числитель: $3+\sqrt{5}+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}+1$. Получаем $\frac{2\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+2}$. Домножим на сопряжённое $\sqrt{5}-2$, знаменатель равен $5-4=1$: $(2\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-2)=10-4\sqrt{5}+\sqrt{5}-2=8-3\sqrt{5}$. Значение «$5\sqrt{5}-10$» получается при ошибке $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=2-\sqrt{5}$, «$1+2\sqrt{5}$» — если забыть про знаменатель, «$8+3\sqrt{5}$» — при ошибке со знаком при избавлении от иррациональности.