Задание № 4863 по математике: Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования

Разбор

Основание коробки — квадрат со стороной $12-2x$, высота равна $x$, поэтому $V(x)=x(12-2x)^2$, где $0<x<6$. Производная: $V'(x)=(12-2x)^2-4x(12-2x)=(12-2x)(12-6x)$. На промежутке $(0;6)$ производная равна нулю при $x=2$. При $x<2$ она положительна, при $x>2$ отрицательна, значит $x=2$ — точка максимума. Тогда $V(2)=2\cdot 8^2=128$ см³. Поэтому верны «Наибольший объём коробки достигается при $x=2$ см» и «Наибольший объём коробки равен 128 см³». «Наибольший объём коробки равен 108 см³» неверно: 108 см³ — это $V(3)=3\cdot 6^2$, а не максимум. «Наибольший объём коробки достигается при $x=3$ см» неверно, так как максимум при $x=2$. При $x=1$ получаем $V(1)=1\cdot 10^2=100$ см³, это верно. Область определения: нужно $12-2x>0$, то есть $x<6$, поэтому промежуток $(0;12)$ неверен.