Динамика

Разбор

1) Проверим, возможен ли совместный разгон без проскальзывания. Для обоих брусков вместе: F − f_стола = (m1 + m2)a. Нормальная реакция стола N = (m1 + m2)g = 50 Н, трение о стол f_стола = μ0 N = 0,10·50 = 5 Н. Тогда a = (18 − 5)/5 = 2,6 м/с².
2) Требуемое трение между брусками для разгона нижнего: f_12,треб = m2·a = 3·2,6 = 7,8 Н (без учета стола). С учетом трения стола на нижний брусок: f_12 − 5 = 3·2,6 ⇒ f_12 = 12,8 Н.
3) Максимальное трение между брусками: f_12,max = μ·N_между = 0,30·(m1 g) = 0,30·20 = 6 Н < 12,8 Н. Значит, происходит проскальзывание, и трение между брусками равно 6 Н (скольжения).
4) Запишем уравнения движения при скольжении:
— Верхний брусок: 18 − 6 = 2·a1 ⇒ a1 = 6,0 м/с².
— Нижний брусок: 6 − 5 = 3·a2 ⇒ a2 = 1/3 ≈ 0,33 м/с².
Следовательно, ускорение нижнего бруска равно 0,33 м/с².

Разбор

При движении вверх сила трения направлена вниз вдоль плоскости: $a_1 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) = 10\cdot(0{,}6 + 0{,}45\cdot 0{,}8) = 9{,}6$ м/с². Путь до остановки: $s = \frac{v_0^2}{2a_1} = \frac{100}{19{,}2} \approx 5{,}21$ м. При соскальзывании сила трения направлена вверх: $a_2 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) = 10\cdot(0{,}6 - 0{,}36) = 2{,}4$ м/с². Скорость в начальной точке: $v = \sqrt{2a_2 s} = \sqrt{2\cdot 2{,}4\cdot 5{,}21} = \sqrt{25} = 5$ м/с.

Разбор

При ускорении вниз второй закон Ньютона даёт $mg - kx_1 = ma$, откуда $m = \frac{kx_1}{g-a} = \frac{400 \cdot 0{,}06}{8} = 3$ кг. При ускорении вверх $kx_2 - mg = ma$, откуда $x_2 = \frac{m(g+a)}{k} = \frac{3 \cdot 12}{400} = 0{,}09$ м = 9 см. То же получается из отношения $\frac{x_2}{x_1} = \frac{g+a}{g-a} = 1{,}5$.

Разбор

Ускорение грузов: $a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2}=\frac{2\cdot 10}{8}=2{,}5$ м/с². Для легкого груза, который движется вверх: $T-m_1g=m_1a$, откуда $T=m_1(g+a)=3\cdot 12{,}5=37{,}5$ Н. Блок невесомый, поэтому на его ось действуют две нити с одинаковой силой натяжения, направленные вниз: $F=2T=75$ Н.

Разбор

Проекция силы тяжести на плоскость: $mg\sin37^\circ = 2\cdot10\cdot0{,}6 = 12$ Н. Сила нормальной реакции: $N = mg\cos37^\circ = 2\cdot10\cdot0{,}8 = 16$ Н. Сила трения направлена вниз вдоль плоскости: $F_{тр} = \mu N = 0{,}25\cdot16 = 4$ Н. По второму закону Ньютона вдоль плоскости: $ma = F - mg\sin37^\circ - F_{тр}$, откуда $a = \dfrac{20 - 12 - 4}{2} = 2{,}0$ м/с².

Разбор

1) Силы трения: $F_{тр1}=\mu_1 m_1 g=0{,}3\cdot2\cdot10=6$ Н, $F_{тр2}=\mu_2 m_2 g=0{,}1\cdot3\cdot10=3$ Н.
2) Второй закон Ньютона для системы: $a=\frac{F-F_{тр1}-F_{тр2}}{m_1+m_2}=\frac{20-6-3}{5}=2{,}2$ м/с².
3) Для бруска массой 2 кг, который тянет нить: $T-F_{тр1}=m_1 a$, откуда $T=2\cdot2{,}2+6=10{,}4$ Н.
4) Проверка по бруску массой 3 кг: $F-T-F_{тр2}=m_2 a$, $20-10{,}4-3=6{,}6=3\cdot2{,}2$. Ответ: 10,4 Н.

Разбор

Висящий груз тяжелее составляющей силы тяжести бруска вдоль плоскости: $m_2g=30$ Н больше, чем $m_1g\sin30^\circ=10$ Н. Поэтому груз опускается, а брусок движется вверх по плоскости. Второй закон Ньютона для груза: $m_2g-T=m_2a$. Для бруска: $T-m_1g\sin\alpha=m_1a$. Складываем уравнения: $a=\dfrac{m_2g-m_1g\sin\alpha}{m_1+m_2}=\dfrac{30-10}{5}=4$ м/с². Натяжение нити: $T=m_2(g-a)=3\cdot(10-4)=18$ Н. Проверка по бруску: $T=m_1(g\sin\alpha+a)=2\cdot(5+4)=18$ Н.

Разбор

1) Силы трения: $F_{тр1}=\mu_1 m_1 g=0{,}1\cdot3\cdot10=3$ Н, $F_{тр2}=\mu_2 m_2 g=0{,}3\cdot2\cdot10=6$ Н.
2) Ускорение системы: $a=\dfrac{F-F_{тр1}-F_{тр2}}{m_1+m_2}=\dfrac{24-3-6}{5}=3$ м/с².
3) Второй закон Ньютона для второго бруска: $N-F_{тр2}=m_2 a$, откуда $N=2\cdot3+6=12$ Н.
Ответ: 12 Н.

Разбор

Проекции сил на ось вдоль плоскости (вниз положительно): сила тяжести вдоль плоскости $mg\sin\alpha = 4\cdot10\cdot\sin30^\circ = 20$ Н (вниз), сила $F=10$ Н (вверх, со знаком минус), сила трения направлена против движения (вверх), её модуль $f=\mu N=\mu mg\cos\alpha=0{,}25\cdot4\cdot10\cdot\cos30^\circ=0{,}25\cdot40\cdot0{,}866\approx8{,}66$ Н. Тогда равнодействующая вдоль плоскости: $$F_\text{рез}=mg\sin\alpha - F - f=20-10-8{,}66=1{,}34\ \text{Н}.$$ Ускорение: $$a=\dfrac{F_\text{рез}}{m}=\dfrac{1{,}34}{4}\approx0{,}335\ \text{м/с}^2\approx0{,}34\ \text{м/с}^2.$$

Разбор

Обозначим массы: $m_1=3\,\text{кг}$ (на столе), $m_2=2\,\text{кг}$ (свисает). Сила трения на $m_1$: $f=\mu m_1 g=0{,}2\cdot 3\cdot 10=6\,\text{Н}$, направлена против движения. Движение вызывает $m_2$, тянущая сила $m_2 g=20\,\text{Н}$. Равнодействующая вдоль нити: $F_\text{рез}=m_2 g - f=20-6=14\,\text{Н}$. По второму закону Ньютона для системы $a=F_\text{рез}/(m_1+m_2)=14/(3+2)=14/5=2{,}8\,\text{м/с}^2$.

Разбор

Разложим силу по осям. Горизонтальная составляющая: $F_x = F\cos37^\circ = 10\cdot0{,}8 = 8\ \text{Н}$. Вертикальная вверх: $F_y = F\sin37^\circ = 10\cdot0{,}6 = 6\ \text{Н}$. Нормальная реакция уменьшается: $N = mg - F_y = 20 - 6 = 14\ \text{Н}$. Сила трения: $f = \mu N = 0{,}20\cdot14 = 2{,}8\ \text{Н}$. Равнодействующая по горизонтали: $F_x - f = 8 - 2{,}8 = 5{,}2\ \text{Н}$. Ускорение: $a = \dfrac{5{,}2}{2} = 2{,}6\ \text{м/с}^2$.