Понятие о геометрических фигурах. Взаимное расположение геометрических фигур

5 заданий с разбором · раздел «Планиметрия»

По тексту · лёгкое
Парк. В городском парке проектируют две круглые клумбы. Радиус первой клумбы равен 6 м, радиус второй равен 2 м. Центры клумб обозначены $O_1$ и $O_2$ . Клумбы считают окружностями, а прямые дорожки — прямыми на плоскости. Прямая дорожка $m$ проходит на расстоянии 4 м от точки $O_1$ и на расстоянии 2 м от точки $O_2$ . Две другие дорожки $a$ и $b$ параллельны, а дорожка $c$ пересекает их обе. Внутренний угол, образованный дорожками $c$ и $a$ , равен $50^\circ$ . В точке $P$ стоит скамейка на расстоянии 10 м от центра $O_1$ . Садовник может переставлять вторую клумбу, меняя расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ .
Расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ равно 10 м. Как расположены окружности клумб?
1. AКасаются внутренним образом
2. BКасаются внешним образом
3. CНе имеют общих точек
4. DПересекаются в двух точках
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- CНе имеют общих точек
Разбор
Радиусы равны 6 м и 2 м, их сумма равна 8 м. Расстояние между центрами 10 м больше этой суммы. Значит, окружности не имеют общих точек и лежат одна вне другой. Касание было бы при расстоянии 8 м, а при расстоянии 4 м окружности касались бы внутренним образом.
Открыть задание 745
По тексту · лёгкое
Парк. В городском парке проектируют две круглые клумбы. Радиус первой клумбы равен 6 м, радиус второй равен 2 м. Центры клумб обозначены $O_1$ и $O_2$ . Клумбы считают окружностями, а прямые дорожки — прямыми на плоскости. Прямая дорожка $m$ проходит на расстоянии 4 м от точки $O_1$ и на расстоянии 2 м от точки $O_2$ . Две другие дорожки $a$ и $b$ параллельны, а дорожка $c$ пересекает их обе. Внутренний угол, образованный дорожками $c$ и $a$ , равен $50^\circ$ . В точке $P$ стоит скамейка на расстоянии 10 м от центра $O_1$ . Садовник может переставлять вторую клумбу, меняя расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ .
Чему равен внутренний односторонний угол при пересечении дорожки $c$ с дорожкой $b$ , расположенный с тем же углом $50^\circ$ по одну сторону от $c$ ?
1. A $40^\circ$
2. B $100^\circ$
3. C $50^\circ$
4. D $130^\circ$
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- D $130^\circ$
Разбор
Дорожки $a$ и $b$ параллельны, а $c$ — секущая. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ$ . Поэтому искомый угол равен $180^\circ-50^\circ=130^\circ$ . Значение «50°» было бы у внутреннего накрест лежащего угла.
Открыть задание 748
По тексту · лёгкое
Парк. В городском парке проектируют две круглые клумбы. Радиус первой клумбы равен 6 м, радиус второй равен 2 м. Центры клумб обозначены $O_1$ и $O_2$ . Клумбы считают окружностями, а прямые дорожки — прямыми на плоскости. Прямая дорожка $m$ проходит на расстоянии 4 м от точки $O_1$ и на расстоянии 2 м от точки $O_2$ . Две другие дорожки $a$ и $b$ параллельны, а дорожка $c$ пересекает их обе. Внутренний угол, образованный дорожками $c$ и $a$ , равен $50^\circ$ . В точке $P$ стоит скамейка на расстоянии 10 м от центра $O_1$ . Садовник может переставлять вторую клумбу, меняя расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ .
При каком расстоянии между центрами $O_1$ и $O_2$ окружности клумб пересекаются ровно в двух точках?
1. A4 м
2. B5 м
3. C8 м
4. D9 м
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- B5 м
Разбор
Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между центрами больше разности радиусов и меньше их суммы. Разность радиусов равна $6-2=4$ м, сумма равна $6+2=8$ м, то есть нужно $4<d<8$ . Этому условию удовлетворяет только «5 м». Значения «4 м» и «8 м» дают касание, а «9 м» — случай без общих точек.
Открыть задание 747
По тексту · среднее
Парк. В городском парке проектируют две круглые клумбы. Радиус первой клумбы равен 6 м, радиус второй равен 2 м. Центры клумб обозначены $O_1$ и $O_2$ . Клумбы считают окружностями, а прямые дорожки — прямыми на плоскости. Прямая дорожка $m$ проходит на расстоянии 4 м от точки $O_1$ и на расстоянии 2 м от точки $O_2$ . Две другие дорожки $a$ и $b$ параллельны, а дорожка $c$ пересекает их обе. Внутренний угол, образованный дорожками $c$ и $a$ , равен $50^\circ$ . В точке $P$ стоит скамейка на расстоянии 10 м от центра $O_1$ . Садовник может переставлять вторую клумбу, меняя расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ .
Как расположена прямая $m$ относительно каждой из двух клумб?
1. AС первой клумбой имеет две общие точки, ко второй касается
2. BКасается обеих клумб
3. CНе имеет общих точек ни с одной из клумб
4. DК первой клумбе касается, вторую пересекает в двух точках
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- AС первой клумбой имеет две общие точки, ко второй касается
Разбор
Для первой окружности расстояние от центра до прямой равно 4 м, радиус равен 6 м. Так как 4 < 6, прямая пересекает окружность в двух точках. Для второй окружности расстояние равно 2 м и совпадает с радиусом 2 м, значит, прямая касается её.
Открыть задание 746
Один ответ · лёгкое
Радиусы двух окружностей равны 7 см и 3 см, а расстояние между их центрами равно 4 см. Каково взаимное расположение этих окружностей?
1. Aпересекаются в двух точках
2. Bкасаются внешним образом
3. Cне имеют общих точек, одна лежит внутри другой
4. Dкасаются внутренним образом
Показать ответ и разбор
Верный ответ
- Dкасаются внутренним образом
Разбор
Пусть $R=7$ , $r=3$ , $d=4$ . Находим разность радиусов: $R-r=7-3=4$ и сумму радиусов: $R+r=7+3=10$ . Так как $d=R-r$ , то есть $4=4$ , окружности имеют ровно одну общую точку и меньшая окружность лежит внутри большей. Значит, окружности касаются внутренним образом. Внешнее касание было бы при $d=10$ , пересечение в двух точках при $4<d<10$ , а отсутствие общих точек с вложением при $d<4$ .
Открыть задание 736